La notación bra-ket, también conocida como formalismo de Dirac, constituye la notación estándar para la descripción de los estados cuánticos en la teoría de la mecánica cuántica. Su aplicabilidad se extiende también a la descripción de vectores abstractos y funcionales lineales en el ámbito de las matemáticas puras.
En el contexto de la mecánica cuántica, el estado de un sistema físico se identifica con un vector perteneciente a un espacio de Hilbert complejo, denotado como H. Cada uno de estos vectores es denominado un ket y se representa mediante la notación . Aquí, representa el producto interno definido en el espacio de Hilbert.
Esta notación se fundamenta en el teorema de representación de Riesz, el cual establece que un espacio de Hilbert y su espacio dual son isomorfos de manera isométrica. En consecuencia, cada bra se corresponde de forma unívoca con un ket y viceversa.
Es importante destacar que el formalismo de Dirac puede ser empleado incluso en situaciones donde el espacio vectorial no sea un espacio de Hilbert. En cualquier espacio de Banach B, los vectores pueden ser representados como kets y los funcionales lineales continuos como bras. Asimismo, sobre cualquier espacio vectorial desprovisto de topología, es posible denotar los vectores mediante kets y los funcionales lineales mediante bras.
Operadores Lineales en Mecánica Cuántica
Si A: H → H es un operador lineal, su aplicación a un ket resulta en un nuevo ket , es decir, . Los operadores lineales son omnipresentes en la teoría de la mecánica cuántica.
Por ejemplo, los operadores lineales hermíticos se utilizan para representar cantidades físicas observables, como la energía o el momento. Por otro lado, los operadores lineales unitarios se emplean para describir procesos transformativos, tales como rotaciones o la progresión temporal.
Los operadores también pueden ser concebidos como actuando sobre bras del "lado derecho". La notación denota un operador que transforma el ket en el ket (donde es un escalar que multiplica al ket ).
Espacios de Hilbert y Producto Tensorial
Dos espacios de Hilbert, V y W, pueden combinarse para formar un tercer espacio a través del producto tensorial. En mecánica cuántica, este concepto es fundamental para describir sistemas compuestos.
Si un sistema se compone de dos subsistemas descritos por los espacios V y W respectivamente, entonces el espacio de Hilbert del sistema completo es el producto tensorial de los dos espacios: . Una excepción a esta regla ocurre cuando los subsistemas corresponden a partículas idénticas, en cuyo caso la situación se vuelve más compleja.
Si es un ket en V y es un ket en W, el producto tensorial de los dos kets es un ket en el espacio producto tensorial: .
Proyecciones y Bases en Espacios de Hilbert
En mecánica cuántica, a menudo resulta conveniente trabajar con las proyecciones de los vectores de estado sobre una base particular, en lugar de trabajar directamente con los vectores mismos. Este procedimiento es análogo al uso de vectores coordenados en álgebra lineal.
Por ejemplo, el espacio de Hilbert de partículas puntuales de espín cero es generado por una base de posición , donde el índice x se extiende sobre el conjunto de los vectores de posición. En este contexto, el operador A en el lado izquierdo de la ecuación se etiqueta, por convención, de la misma manera que el operador en el lado derecho. Sin embargo, es crucial considerar que estas dos entidades son conceptualmente distintas: la primera actúa sobre funciones de onda, mientras que la segunda actúa sobre kets.
Esta distinción representa un abuso de notación, aunque es una práctica bastante común. El operador diferencial debe ser entendido como un operador abstracto que actúa sobre kets, y su efecto de diferenciar funciones de onda se manifiesta una vez que la expresión se proyecta en la base de posición.
Referencias
- Cohen-Tannoudji, Claude; Diu, Bernard; Laloë, Franck (1977). Quantum Mechanics. vol.1 (3ª edición). París, Francia: Hermann. pp. 898.
- Muñoz Sudupe, Antonio; Sánchez del Río (2003). Física Cuántica. vol.1 (3ª edición). Gran Canaria, España: Pirámide. p. 1019. ISBN M. 40.469-2003.
- PAM Dirac (1939). "A new notation for quantum mechanics". Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 35 (3): 416-418.
- H. Grassmann (1862). Extension Theory. History of Mathematics Sources. American Mathematical Society, London Mathematical Society, 2000 translation by Lloyd C.
- Cajori, Florian (1929). A History Of Mathematical Notations Volume II. Open Court Publishing. p. 134.