El desarrollo de la ecuación del calor se atribuye principalmente al matemático y físico francés Joseph Fourier, quien en 1822 publicó su obra Théorie analytique de la chaleur. En este trabajo formuló una ecuación diferencial en derivadas parciales que describe la propagación del calor por difusión en un medio continuo. Desde un punto de vista físico, estas ecuaciones permiten la modelización de fenómenos como el calentamiento de materiales o la difusión de solutos en fluidos estacionarios. Sin embargo, la influencia de la física es más profunda: de hecho, el coeficiente de difusión lleva su nombre por la interpretación física de su acción en el sistema.
Fundamentos de la Ecuación del Calor
La ecuación del calor es una importante ecuación diferencial en derivadas parciales del tipo parabólica que describe la distribución del calor (o variaciones de la temperatura) en una región a lo largo del transcurso del tiempo. Matemáticamente, se expresa como:
$$ \frac{\partial u}{\partial t} = \alpha \nabla^2 u $$
donde u(x, t) es una constante positiva, y ∇² es el operador de Laplace. En el problema físico de variación de temperatura, u representa la temperatura y α es la difusividad térmica.
Considerando la ecuación de estado y la primera ley de la termodinámica (es decir, la conservación de la energía), se escribe de la siguiente forma (asumiendo que no hay transferencia de masa, ni fuentes de radiación, pero sí una fuente de energía Q):
$$ \rho c_p \frac{\partial T}{\partial t} = \nabla \cdot (k \nabla T) + Q $$
donde ρ es la densidad de masa del material, c_p es la capacidad calórica específica, k es la conductividad térmica y T es la temperatura. En ausencia de trabajo realizado, un cambio en la energía interna por unidad de volumen en el material, ΔE/ΔV, es proporcional al cambio de la temperatura, ΔT. Si no hay trabajo realizado, y no hay fuentes de calor, el cambio en la energía interna en el intervalo queda completamente definido por el flujo de calor que atraviesa los contornos.
Se puede agregar un término más a la ecuación para tener en cuenta las pérdidas de calor por radiación, fenómeno que depende del exceso de temperatura en algún punto dado comparado con el entorno. Sin embargo, cuando hay exceso de temperatura significativo, según la ley de Stefan-Boltzmann la pérdida neta de calor radiado es proporcional a (T^4 - T_0^4), y la ecuación anterior es errónea. En este caso, la ecuación se modifica para incluir este efecto:
$$ \rho c_p \frac{\partial T}{\partial t} = \nabla \cdot (k \nabla T) + Q - \frac{hP}{A}(T - T_{ext}) $$
donde h es el coeficiente de transferencia de calor por convección, P es el perímetro de la sección de la barra y A es su área de sección, y T_ext es la temperatura del entorno.
Importancia y Aplicaciones de la Ecuación del Calor
La ecuación del calor es de una importancia fundamental en numerosos y diversos campos de la ciencia. En el ámbito de las matemáticas, son las ecuaciones parabólicas en derivadas parciales por antonomasia. En el campo de la estadística, la ecuación del calor está vinculada con el estudio del movimiento browniano a través de la ecuación de Fokker-Planck.
Las soluciones de la ecuación del calor se caracterizan por una suavidad gradual de la distribución de temperatura inicial por el flujo de calor desde las áreas más cálidas hacia las más frías de un objeto. Generalmente, muchos estados diferentes y condiciones iniciales tienden al mismo equilibrio estable.
La ecuación del calor gobierna la difusión de calor, es decir, es otro proceso de difusión, tal como la difusión de partículas o la propagación del potencial de acción en células neuronales. Sin embargo, no son de naturaleza difusiva; algunos problemas de mecánica cuántica también están gobernadas por una ecuación análoga a la ecuación del calor.
Problemas de Dominio Acotado y No Acotado
Planteemos el paso entre problemas de dominio acotado y los de no acotado. ¿Podemos aproximar las soluciones del sistema no acotado mediante las del acotado? Demos por conocidos el uso de separación de variables para resolver problemas de autofunciones en caso acotado y el manejo de la solución fundamental junto con la convolución para el sistema no acotado.
Para comparar todas las soluciones correspondientes, consideremos un sistema 1-dimensional, con una gaussiana e^{-x^2} como condición inicial. Justificamos físicamente como el uso de un láser para calentar un punto de una tira fina de metal. Considerando que los fotones puedan desviarse como una distribución normal por el teorema central del límite, es un montaje experimental factible y regular.
Condiciones de Frontera Dirichlet
Si consideramos condiciones de Dirichlet, a una tira de longitud 2a le colocaremos en los extremos un material que se mantenga siempre a la misma temperatura, pongamos que a una temperatura nula.
Condiciones de Frontera Neumann
Consideremos ahora condiciones de frontera Neumann, con un flujo nulo que físicamente viene de poner extremos aislantes. Para cierto b > 0, y no necesariamente igual que con a.
Aproximación Numérica y Análisis de Errores
Queremos comprobar cuán bien aproximan las soluciones del caso acotado Dirichlet y Neumann a la obtenida por la solución fundamental. Para ello, escojamos un tiempo máximo t_max hasta el cuál tomaremos el error en norma L^∞.
La representación gráfica de las soluciones del problema acotado (a = b = 20) y no acotado truncando las series de Fourier en su término 100, para un tiempo máximo de 1; y de sus errores. Con n = 100 y t_max fijo, podemos observar que al aumentar a, b y n el error entre las soluciones acotadas y no acotada disminuye. Nótese que se estanca a partir de cierto n.
Con t_max = 1, vamos obteniendo errores máximos en escala logarítmica con diferentes longitudes y truncamientos entre la solución del problema no acotado y el acotado Dirichlet. Análogo a la figura adyacente.
Al ampliar el tiempo con n y fijada a = b = 15, al hacer más grande t_max los errores máximos no aumentan. Con dominio fijo, el error en escala logarítmica entre solución no acotada y sistema Dirichlet decae incluso con el paso del tiempo.
Con condiciones análogas en frontera Neumann, el resultado es igualmente excelente para aproximar el caso no acotado.
Solución Fundamental y Coeficiente de Difusión
La solución fundamental de la ecuación del calor unidimensional para distintos valores del coeficiente de difusión. La representación gráfica parte del tiempo inicial t = 0.01, esperando una delta de Dirac en el instante inicial.
Interpretemos el valor de D (difusividad) aprovechando el montaje físico anterior.
Ecuación del calor | Ecuaciones Diferenciales Parciales
El estado inicial presenta una región uniformemente caliente en forma de pezuña (rojo) rodeada por una región uniformemente fría (amarillo).
Referencias
- Ibarra, María del Carmen (2012). La ecuación de calor de Fourier: resolución mediante métodos de análisis en variable real y en variable compleja. UTN Facultad Regional Resistencia: II Jornadas de Investigación en Ingeniería del NEA y Países Limítrofes.
- Crank, J.; Nicolson, P.
- Einstein, Albert (1905), «Über die von der molekularkinetischen Theorie der Wärme geforderte Bewegung von in ruhenden Flüssigkeiten suspendierten Teilchen», Ann. Phys.
- Evans, L.C.
- John, Fritz (1991), Partial Differential Equations (en inglés) (4th ed.).
- Wilmott, P.; Howison, S.; Dewynne, J.
- Koshkin N. I., Shirkévich M. G. (1975). Manual de Física Elemental. Editorial Mir.